Вероятность выиграть в Спортлото, или Введение в комбинаторику

Моя мама играла в Спортлото, когда я был школьником. Тогда было два вида билетов: 5 из 36 и 6 из 49. Надеюсь, вы видели фильм "Спортлото-82" и вам не нужно объяснять, как работает эта лотерея :)

Давайте посмотрим, какова вероятность выиграть максимальный приз, угадав все выпавшие номера в Спортлото 5 из 36.

Для этого посчитаем количество вариантов, которыми можно выбрать 5 номеров из 36, и единицу (число попыток, один заполненный билет Спортлото) поделим на количество возможных вариантов.

Подсчитать число возможных вариантов очень просто, если вы способны справиться с такой задачкой (встречал в школьном учебнике математики):

Путешественник поднялся на гору по одной из четырех тропинок, ведущих на вершину, а спустился по другой тропинке. Сколько различных вариантов подняться и спуститься с горы есть у путешественника?

Решение: вначале выбираем одну из четырех имеющихся тропинок, чтобы подняться на вершину. Очевидно, что у нас есть четыре варианта выбора. После того, как одна из тропинок выбрана для подъема, у нас осталось три тропинки для спуска с горы, то есть, три варианта выбора. Четырежды три дают нам двенадцать вариантов подняться и спуститься с горы.

Точно такая же ситуация с выбором 5 номеров из 36. Вначале выбираем первый номер из 36-ти возможных, затем второй - из 35-ти возможных, затем третий - из 34-х возможных, и так далее, пока не наберем 5 номеров.

36 * 35 * 34 * 33 * 32 = 45239040

Итак, существуют 45 миллионов 239 тысяч 40 вариантов выбрать 5 номеров из 36 (размещений по 5 из 36). Причем, среди этих вариантов существуют такие:

1, 2, 3, 4, 5
2, 1, 3, 4, 5
3, 2, 1, 4, 5
...

Ну вы поняли. Есть множество последовательностей из 5 номеров, содержащих одни и те же номера. По правилам Спортлото, все эти последовательности равнозначны, то есть, имеет значение только сочетание номеров, а не их последовательность.

Сколько же разных последовательностей (перестановок) существует для 5 номеров? Ответ на этот вопрос находится уже знакомым нам способом. Первым выбирается один из 5-ти номеров, вторым - один из 4-х оставшихся номеров, и так далее, пока не будут выбраны все 5 номеров. Число различных последовательностей выбора 5-ти из 5-ти равно:

5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

Отсюда, 45 миллионов 239 тысяч 40 последовательностей выбора 5 номеров из 36 нужно разделить на 120, чтобы получить число различных сочетаний 5 номеров из 36:

(36 * 35 * 34 * 33 * 32) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 376992

Получается, что комбинация из 5 номеров, зачёркнутых игроком в билете, - одна из 376 тысяч 992 возможных комбинаций. Чтобы выигать наверняка, нужно купить именно столько билетов и заполнить их различными комбинациями. Если игрок заполнил только один билет, то вероятность выпадения его комбинации во время розыгрыша тиража равна:

1 / 376992 = 0.000002653

А теперь бонус!

Решая эту задачку, мы разобрали три ключевых понятия комбинаторики:

• размещения (все последовательности выбора 2 тропинок из 4-х, или 5-ти номеров из 36),
• перестановки (все последовательности выбора 5-ти номеров из 5-ти),
• сочетания (все разные сочетания 5-ти номеров из 36, или количество подмножеств мощностью 5 у множества мощностью 36).

Правда же, простые вещи?