пятница, 27 декабря 2013 г.

До скольки можно посчитать на пальцах?

Для определенности, договоримся, что будем вести счет на пальцах, разгибая изначально собранные в кулак пальцы. Этот способ практически равноценен загибанию пальцев, но более нагляден на иллюстрациях. Итак, пальцы собраны в кулак - ноль, один палец распрямлен - один! и т.д.

До скольки же можно посчитать на пальцах двух рук?

Первый ответ, просящийся с языка: до десяти. Действительно, при традиционном способе счета на пальцах мы сначала разгибаем пальцы на одной руке, досчитывая до пяти, и далее переходим на другую руку: шесть, семь, ..., десять. Досчитали до десяти - и пальцы на руках закончились. Теперь, если нужно считать дальше, придется держать десяток в уме (на ум пошло!) и повторно использовать пальцы сначала одной, затем и другой руки для счета следующего десятка.

А что, если... считать не десятками, а пятерками? Две руки по пять пальцев на каждой отлично годятся для этого. Отсчитаем первую пятерку, разгибая пальцы одной руки. Досчитав до пяти и использовав все пальцы одной руки, вместо того, чтобы держать пятерку в уме, отложим ее на пальцах другой руки! И продолжим считать, снова разгибая пальцы первой руки. Отсчитав вторую пятерку, отложим и ее на пальцах другой руки, и продолжим счет дальше:

Какое число показывают пальцы на картинке? Одиннадцать! На руке слева два разогнутых пальца обозначают две пятерки, то есть, десять, а на руке справа - один разогнутый обозначает единицу. Итого, одиннадцать:

11 = 2*5 + 1*1

Если продолжить счет пятерками, пока не кончатся пальцы на двух руках, то до скольки нам удастся досчитать?

Пять пальцев на руке слева обозначают пять посчитанных пятерок, то есть, двадцать пять, да пять пальцев на руке справа дают еще пять единиц. Мы досчитали до тридцати при помощи наших десяти пальцев!

Таким образом, десять распрямленных пальцев - это тридцатка. Теперь, если нужно считать дальше, придется "положить на ум" тридцатку, и, приведя пальцы двух рук в исходное положение - сжав в кулаки - обнулив наше счетное устройство, - начать счет второй тридцатки. Выходит, считая пятерками, мы получили большую "емкость" нашего счетного устройства? Если при счете десятками нам удалось при помощи двух рук досчитать, максимум, до десяти, то при счете пятерками мы добрались аж до тридцати!

Успехи впечатляют. Но предел ли это?

Заметим, что у способа счета, который мы использовали, есть одна особенность: некоторые числа обозначаются более, чем одной комбинацией пальцев. Так, при счете десятками, десять разогнутых пальцев обозначают десяток и "отложенный на ум" десяток (или отложенный камешек, ракушка) тоже обозначает десяток! При счете пятерками, пять разогнутых пальцев на руке справа обозначают пятерку, и один разогнутый палец на руке слева тоже обозначает пятерку!

А как, при счете пятерками, двумя разными способами показать число десять? пятнадцать? Ответьте сами.

Такой же способ счета, когда некоторые числа представляются на счетном устройстве более, чем одним образом, характерен для русских счётов. Десять костяшек одного ряда (разряда), откинутые влево, и одна костяшка следующего ряда, откинутая влево, обозначают одно и то же число. См., например, статью про счёты в википедии.

Что если при счете на пальцах мы попробуем избавиться от избыточности и задействовать избыточные комбинации пальцев для обозначения дополнительных чисел? Вот что я имею в виду:

Получается, что на руке слева теперь мы откладываем не пятерки, а шестерки! А максимальное число, которое можно изобразить, распрямив пять пальцев на двух руках, пять шестерок слева да пять единиц справа - тридцать пять.

Чертовщина какая-то, скажете вы и будете правы.

При помощи двух пятипалых рук оказывается более эффективным считать шестерками, а не пятерками. Иными словами, две руки как два разряда счетного устройства работают в шестиричной позиционной системе счисления (а не в пятеричной). При этом каждая рука-разряд в процессе счета принимает шесть различных значений от 0 до 5, а две руки-разряда вместе проходят диапазон из тридцати шести значений от 00 до 556. Последнее число - запись в шестиричной системе числа тридцать пять:

35 = 556 = 5*6 + 5*1

Для записи чисел в шестиричной системе достаточно шести цифр: от 0 до 5. Для более наглядной демонстрации счета в шестиричной системе добавим к предыдушей картинке цифровое счетное устройство:

Могли бы мы считать шестерками, а не десятками, в повседневной жизни? После проделанных упражнений на пальцах кажется, что шестиричная система должна была получить свой шанс в истории человечества. Однако, не сложилось. Как не сложилось и в случае с одиннадцатеричной системой счисления, см. Всемирный заговор девятипалых.

Между тем, кое-что мы до сих пор считаем дюжинами - это отголосок двенадцатеричной системы счисления древнего Шумера (предположительно, от числа фаланг на четырех пальцах одной руки, за исключением большого). Пользуемся также наследием шестидесятиричной системы счисления, распространенной в древности на Ближнем Востоке: шестьдесят минут в часе, в градусе; двенадцатилетний и шестидесятилетний циклы восточного календаря.

При этом десятичная система остается преобладающей в общении между людьми. А двоичная - безусловный лидер среди компьютеров.

Комментариев нет:

Отправить комментарий